Kinderlezingen

Bij binnenkomst heeft elk kind een rood en een groen kaartje gekregen. Cox telt af en vraagt hen om er een omhoog te houden. Ongeveer de helft van de kinderen heeft groen gekozen en de andere helft rood. “Als iedereen dezelfde kleur had gekozen, dan had ik op pepernoten getrakteerd”, zegt ze. “Maar van tevoren wist ik al dat ik geen pepernoten hoefde mee te nemen. Want de kans dat jullie allemaal een groen of allemaal een rood kaartje omhoog zouden houden, zou kleiner zijn dan de kans dat ik de loterij win wanneer de hele wereldbevolking meedoet.”

Rommel
Op de beamer laat ze twee plaatjes zien van dezelfde kinderkamer. De één is keurig opgeruimd, de ander vol rommel: het bed is niet opgemaakt, schilderijen hangen scheef, op de vloer ligt een knuffel en een omgevallen bloempot. “De kans is groot dat de kamer rommelig is doordat er een kind in gespeeld heeft”, vertelt Cox. “Ook is de kans dat er vieze sokken rondslingeren in de rommelige kamer groter dan dat er vieze sokken in de opgeruimde kamer liggen. In de opgeruimde kamer is de kans groot dat de sokken schoon zijn en in een laadje liggen.”

Kansen
Maar wat zijn kansen nu precies? Cox: “Een kans zegt iets over de waarschijnlijkheid dat er iets gebeurt.” Maar hoe kom je erachter hoe groot een kans is? Daarvoor heeft ze chocolade muntjes meegenomen. “Wat is de kans dat je kop of munt gooit?”, vraagt ze aan de zaal. Een jongen weet het antwoord: “Dat is 50-50.” Dit wordt getest. Alle kinderen gooien hun muntje op. Zeventien van hen gooien kop en eenentwintig van hen gooien munt. “Dat is niet perfect half-half”, merkt Cox op. “Je kunt die kans beter schatten als iedere bezoeker die nu in NEMO rondloopt een muntje op zou gooien, of door het experiment vaak te herhalen.”

Galtonbord
Cox heeft een Galtonbord van de universiteit meegenomen. Bovenaan het bord zit een gaatje waaruit balletjes komen. De balletjes stuiten op een regelmatig patroon van pinnetjes. Bij elk pinnetje kan het balletje naar links of naar rechts vallen. Onderaan het bord komen ze in verschillende bakjes terecht. “Je ziet dat de meeste ballen in de middelste bakjes terechtkomen. Hoe meer je naar de zijkant gaat, hoe minder balletjes er in de bakjes liggen”, merkt ze op. “Samen vormen de balletjes in de bakjes een bult.”

Als je heel veel balletjes laat vallen, zullen ze met grote kans in een bultvorm terechtkomen, vertelt Cox. Om dit te begrijpen, moet je kijken hoe groot de kans is dat een balletje in het meest linker vakje terechtkomt. “Een balletje moet daarvoor bij elf pinnetjes naar links vallen”, zegt ze. “De kans om 1 x naar links te vallen is een half. De kans om twee keer naar links te vallen is een half van een half, dus 25 procent. En ga zo maar door. De kans dat een balletje dus helemaal links van het bord terecht komt is 1 op 2048.”

Middels een formule op de beamer laat ze zien dat de kans dat een balletje in het midden terecht komt groter is dan dat een balletje op de randen terecht komt. “Er zijn heel veel verschillende manieren om in het midden uit te komen, maar er is maar één manier om helemaal links of rechts uit te komen."

Cito-scores
Dit soort bultverdelingen zie je in de praktijk vaak, vertelt Cox. Ze laat een grafiek zien met Cito-scores. Op de verticale as staat het aantal kinderen en op de horizontale as staat hun Cito-score. Je ziet weer een bultverdeling, waarbij de meeste kinderen scoren rond de 536 punten . “Elk kind dat een Cito-toets maakt is eigenlijk zelf een balletje dat naar links of naar rechts kan vallen”, legt ze uit. “Hoe hoog je scoort op de toets hangt bijvoorbeeld af van je genen, naar wat voor school je gaat en of je goed ontbeten hebt.” Een meisje uit de zaal merkt op: “Je kunt dus op veel manieren in het midden van de score terecht komen.”

Cox laat nog veel meer voorbeelden zien van ‘normale verdelingen’, want dat is de officiële term voor de bultverdelingen: een grafiek die de van 500 vrouwen de lengte toont, de vleugellengte van huisvliegen, de leeftijd van Nobelprijswinnaars. Cox: “De meeste mensen zijn rond de 60 jaar oud als ze de Nobelprijs winnen. Mensen van 30 en 100 jaar hebben maar een kleine kans. Ik heb dus nog veel jaren te gaan om die prijs te winnen. Alleen is er helaas geen Nobelprijs voor wiskunde.”

Jarig
Het is tijd voor een proefje waaraan alle kinderen mogen meedoen. Op de muur hangen de pagina’s van een kalender geplakt. Alle kinderen en hun ouders mogen een sticker plakken op dag waarop zij jarig zijn. Het blijkt dat twee kinderen op Eerste Kerstdag geboren zijn, en ook nog in hetzelfde jaartal! De hele zaal lacht om dit toeval. “Je denkt nu: wat toevallig, terwijl er nog zoveel dagen van de kalender leeg zijn”, zegt Cox. “Maar zo toevallig is dit niet hoor! Ik zal dit uitleggen aan de hand van het ‘duiventilprobleem’.”

Een meisje mag naar voren komen en krijgt zeven stuks speelgoed. “Kun je die verdelen over zes bakjes?” vraagt Cox aan haar. “Er mag maar één stuk speelgoed in een bakje.” Het meisje doet een poging en stopt dan drie stuks speelgoed in één bakje, en zegt erbij: “Je hebt niet gezegd dat er geen drie in mogen!” Cox en de zaal lachen. En vervolgt dan “Als je zes vakjes hebt en zeven stuks speelgoed, dan komen er altijd twee in hetzelfde vakje terecht. Dus als je 367 mensen bij elkaar zet dan is de kans 100 % dat er twee op dezelfde dag jarig zijn.”

Maar wat is de kans dat twee mensen uit een groep op dezelfde dag jarig zijn? Dat hangt natuurlijk af van de grote van de groep. “Als de groep maar uit twee personen bestaat, dan is de kans 1/366. Die kans is dus erg klein. Maar naarmate de groep groter wordt, wordt de kans snel groter.” Cox laat een plaatje zien van exponentiele grafiek. “Bij 10 mensen is die kans al zichtbaar aanwezig en bij 23 mensen heb je al 50 procent kans dat er twee op zelfde dag jarig zijn. En bij 60 mensen is die kans al bijna 1 geworden.”

Steekproef huisdierbezitters
Waar kun je kansrekenen nog meer voor gebruiken? “Als je wilt weten hoeveel mensen een hond hebben bijvoorbeeld”, stelt Cox. “Je hebt 18 miljoen mensen in Nederland. Je kunt ze dus allemaal nabellen. Maar je kunt ook een steekproef doen. Je kiest dan een paar mensen uit die kenmerkend zijn voor Nederlanders en vraagt hen of ze een hond of kat hebben. Vervolgens kun je met die uitkomst doorberekenen hoeveel Nederlanders een hond of kat bezitten.”

Ze vertelt dat het publiek van de NEMO Kinderlezing helaas niet geschikt is als steekproef. Een jongen snapt waarom niet: “De meesten van ons zijn onderdeel van een familie.” Cox: “Dat klopt, misschien hebben mensen met kinderen ook vaker huisdieren.” Ze legt uit dat je ook niet in een dierenspeciaalzaak moet gaan staan en vragen of mensen een huisdier hebben. “Want dan zegt iedereen ja. Je kunt beter willekeurige nummers uit een telefoonboek draaien.”

Nog meer kansrekenen
Als laatste laat Cox een aantal plaatjes zien waarbij kansrekenen een rol speelt: een voorspelling van de waarde van aandelen van een bank, het verloop van een coronagolf en een KNMI-voorspelling van het weer voor de komende twee weken. “Voor morgen weten we met vrij grote zekerheid te zeggen wat het weer gaat worden, maar daarna worden de voorspelling vager.” Ook laat ze nog een plaatje zien van een gigantische wachtrij voor de entree van een museum. “Er wordt ook veel kansrekenen gedaan voor wachtrijproblematiek. Dat is belangrijk voor mensen die wachten op een behandeling in het ziekenhuis, of voor de postbedrijven die moeten voorspellen hoeveel pakketjes er binnenkomen op een dag.”

Cox sluit haar lezing af met de woorden: “Wanneer je kansexperimenten vaak herhaalt, kun je patronen ontdekken en daarmee kun je voorspellingen doen. Zo leven we in minder onwaarschijnlijkheid!”